Vòng đệm Apollonian là một loại hình ảnh Fractal được hình thành từ một tập hợp các vòng tròn không ngừng thu nhỏ nằm trong một vòng tròn lớn duy nhất. Mỗi vòng tròn trong Apollonian Gasket tiếp tuyến với các vòng tròn liền kề - nói cách khác, các vòng tròn trong Apollonian Gasket tiếp xúc với nhau tại các điểm nhỏ vô hạn. Được đặt theo tên của nhà toán học Hy Lạp Apollonius ở Perga, loại Fractal này có thể được vẽ (bằng tay hoặc bằng máy tính) với mức độ phức tạp hợp lý, tạo thành một hình ảnh đẹp, nổi bật. Xem Bước 1 bên dưới để bắt đầu.
Các bước
Phần 1/2: Hiểu các khái niệm chính
Để hoàn toàn rõ ràng, nếu bạn chỉ đơn giản là quan tâm đến việc vẽ một chiếc đệm Apollonian, thì việc nghiên cứu các nguyên tắc toán học đằng sau Fractal là không cần thiết. Tuy nhiên, nếu bạn muốn hiểu sâu hơn về Vòng đệm Apollonian, điều quan trọng là phải hiểu định nghĩa của một số khái niệm mà chúng tôi sẽ sử dụng khi thảo luận về chúng.
Bước 1. Xác định các thuật ngữ chính
Các thuật ngữ sau được sử dụng trong hướng dẫn bên dưới:
- Apollonian Gasket: Một trong một số tên gọi của một loại Fractal bao gồm một loạt các vòng tròn lồng vào nhau bên trong một vòng tròn lớn và tiếp tuyến với tất cả các vòng tròn khác gần đó. Chúng còn được gọi là "Vòng kết nối buồn cười" hoặc "Vòng kết nối hôn nhau".
- Radius of a circle: Khoảng cách từ tâm của một vòng tròn đến cạnh của nó. Thường được gán cho biến r.
- Độ cong của hình tròn: Nghịch đảo dương hoặc âm của bán kính, hoặc ± 1 / r. Độ cong là dương khi xử lý độ cong bên ngoài của hình tròn và âm đối với độ cong bên trong.
- Tiếp tuyến: Một thuật ngữ áp dụng cho các đường thẳng, mặt phẳng và hình dạng cắt nhau tại một điểm nhỏ vô hạn. Trong Apollonian Gaskets, điều này đề cập đến thực tế là mỗi vòng tròn chạm vào mỗi vòng tròn gần đó chỉ tại một điểm. Lưu ý rằng không có giao điểm - các hình dạng tiếp tuyến không trùng nhau.
Bước 2. Hiểu Định lý Descartes
Định lý Descartes là một công thức hữu ích để tính toán kích thước của các vòng tròn trong Vòng đệm Apollonian. Nếu chúng ta định nghĩa các độ cong (1 / r) của ba đường tròn bất kỳ là a, b và c, thì Định lý nói rằng độ cong của đường tròn (hoặc các đường tròn) tiếp tuyến với cả ba, mà chúng ta sẽ định nghĩa là d, là: d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a)).
Đối với mục đích của chúng tôi, chúng tôi thường chỉ sử dụng câu trả lời chúng tôi nhận được bằng cách đặt một dấu cộng trước căn bậc hai (nói cách khác,… + 2 (sqrt (…)). Hiện tại, đủ để biết rằng phép trừ dạng của phương trình có các ứng dụng của nó trong các nhiệm vụ liên quan khác
Phần 2/2: Chế tạo chiếc đệm của người Apollonian
Vòng đệm Apollonian có hình thức sắp xếp fractal tuyệt đẹp của các vòng tròn thu nhỏ. Về mặt toán học, Vòng đệm Apollonian có độ phức tạp vô hạn, nhưng, cho dù bạn đang sử dụng chương trình vẽ máy tính hay các công cụ vẽ truyền thống, cuối cùng bạn sẽ đạt đến điểm không thể vẽ các vòng tròn nhỏ hơn nữa. Lưu ý rằng bạn vẽ các vòng tròn của mình càng chính xác thì bạn càng có thể vừa với Vòng đệm của mình.
Bước 1. Tập hợp các công cụ vẽ kỹ thuật số hoặc tương tự của bạn
Trong các bước dưới đây, chúng tôi sẽ tạo một chiếc đệm Apollonian đơn giản của riêng mình. Có thể vẽ Vòng đệm Apollonian bằng tay hoặc trên máy tính. Trong cả hai trường hợp, bạn sẽ muốn có thể vẽ các hình tròn tròn hoàn hảo. Điều này khá quan trọng. Vì mọi vòng tròn trong Apollonian Gasket đều tiếp tuyến hoàn hảo với các vòng tròn bên cạnh nó, nên các vòng tròn thậm chí hơi méo mó có thể "làm hỏng" sản phẩm cuối cùng của bạn.
- Nếu vẽ Vòng đệm trên máy tính, bạn sẽ cần một chương trình cho phép bạn dễ dàng vẽ các vòng tròn có bán kính cố định từ một điểm trung tâm. Gfig, một phần mở rộng vẽ vector cho chương trình chỉnh sửa hình ảnh miễn phí GIMP, có thể được sử dụng, cũng như nhiều chương trình vẽ khác có thể được sử dụng (xem phần tài liệu để biết các liên kết có liên quan). Bạn cũng có thể sẽ cần một ứng dụng máy tính và một tài liệu xử lý văn bản hoặc một sổ ghi chú vật lý để ghi chú về độ cong và bán kính.
- Để vẽ Vòng đệm bằng tay, bạn sẽ cần một máy tính (đề xuất dùng đồ thị hoặc khoa học), bút chì, compa, thước kẻ (tốt nhất là thang chia độ có vạch milimet, giấy kẻ ô vuông và sổ ghi chú để ghi chép.
Bước 2. Bắt đầu với một vòng tròn lớn
Nhiệm vụ đầu tiên của bạn rất dễ dàng - chỉ cần vẽ một hình tròn lớn, tròn hoàn hảo. Hình tròn càng lớn thì Vòng đệm của bạn càng phức tạp, vì vậy hãy cố gắng tạo một hình tròn lớn như giấy của bạn cho phép hoặc lớn đến mức bạn có thể dễ dàng nhìn thấy trong một cửa sổ trên chương trình vẽ của mình.
Bước 3. Tạo một hình tròn nhỏ hơn bên trong hình ban đầu, tiếp tuyến với một bên
Tiếp theo, vẽ một vòng tròn khác bên trong hình đầu tiên nhỏ hơn hình ban đầu, nhưng vẫn khá lớn. Kích thước chính xác của vòng tròn thứ hai là tùy thuộc vào bạn - không có kích thước chính xác. Tuy nhiên, với mục đích của chúng ta, hãy vẽ vòng tròn thứ hai sao cho nó đạt đến chính xác một nửa vòng tròn lớn bên ngoài của chúng ta. Nói cách khác, hãy vẽ đường tròn thứ hai sao cho điểm chính giữa của nó là trung điểm của bán kính đường tròn lớn.
Hãy nhớ rằng trong Vòng đệm Apollonian, tất cả các vòng tròn tiếp xúc với nhau. Nếu bạn đang sử dụng la bàn để vẽ các vòng tròn của mình bằng tay, hãy tạo lại hiệu ứng này bằng cách đặt điểm nhọn của la bàn ở điểm giữa của bán kính hình tròn lớn bên ngoài, điều chỉnh bút chì của bạn sao cho nó vừa chạm vào cạnh của hình tròn lớn, sau đó vẽ vòng tròn bên trong nhỏ hơn của bạn
Bước 4. Vẽ một hình tròn giống hệt "đối diện" với hình tròn bên trong nhỏ hơn
Tiếp theo, hãy vẽ một vòng tròn khác đối diện với vòng tròn đầu tiên của chúng ta. Vòng tròn này phải tiếp tuyến với cả vòng tròn lớn bên ngoài và vòng tròn bên trong nhỏ hơn, có nghĩa là hai vòng tròn bên trong của bạn sẽ chạm vào chính xác điểm giữa của vòng tròn lớn bên ngoài.
Bước 5. Áp dụng Định lý Descartes để tìm kích thước của các vòng tròn tiếp theo của bạn
Hãy ngừng vẽ một chút. Bây giờ chúng ta có ba hình tròn trong Gasket, chúng ta có thể sử dụng Định lý Descartes để tìm bán kính của hình tròn tiếp theo mà chúng ta sẽ vẽ. Hãy nhớ rằng Định lý Descartes là d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a)), trong đó a, b và c là độ cong của ba đường tròn tiếp tuyến của bạn và d là độ cong của đường tròn tiếp xúc với cả ba đường tròn đó. Vì vậy, để tìm bán kính của hình tròn tiếp theo của chúng ta, hãy tìm độ cong của mỗi hình tròn chúng ta có cho đến nay để chúng ta có thể tìm được độ cong của hình tròn tiếp theo, sau đó chuyển nó thành bán kính của nó.
-
Hãy xác định bán kính của vòng tròn bên ngoài của chúng ta là
Bước 1.. Bởi vì các vòng tròn khác nằm bên trong vòng tròn này, chúng tôi đang xử lý độ cong bên trong của nó (chứ không phải độ cong bên ngoài của nó), và do đó, chúng tôi biết độ cong của nó là âm. - 1 / r = -1/1 = -1. Độ cong của vòng tròn lớn là - 1.
-
Bán kính của hình tròn nhỏ hơn lớn bằng một nửa của hình tròn lớn, hay nói cách khác là 1/2. Vì những vòng tròn này đang chạm vào nhau và hình tròn lớn với cạnh bên ngoài của chúng, chúng tôi đang xử lý độ cong bên ngoài của chúng, vì vậy độ cong của chúng là dương. 1 / (1/2) = 2. Độ cong của các đường tròn nhỏ hơn đều là
Bước 2..
-
Bây giờ, chúng ta biết rằng a = -1, b = 2 và c = 2 cho phương trình Định lý Descartes của chúng ta. Hãy giải quyết cho d:
- d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a))
- d = -1 + 2 + 2 ± 2 (sqrt (-1 × 2 + 2 × 2 + 2 × -1))
- d = -1 + 2 + 2 ± 2 (sqrt (-2 + 4 + -2))
- d = -1 + 2 + 2 ± 0
- d = -1 + 2 + 2
-
d = 3. Độ cong của đường tròn tiếp theo là
Bước 3.. Vì 3 = 1 / r, bán kính của hình tròn tiếp theo của chúng ta là 1/3.
Bước 6. Tạo tập hợp các vòng kết nối tiếp theo của bạn
Sử dụng giá trị bán kính bạn vừa tìm thấy để vẽ hai vòng tròn tiếp theo của bạn. Hãy nhớ rằng chúng sẽ là tiếp tuyến của các đường tròn có độ cong mà bạn đã sử dụng cho a, b và c trong Định lý Descartes. Nói cách khác, chúng sẽ tiếp tuyến với cả đường tròn ban đầu và vòng tròn thứ hai. Để các vòng tròn này tiếp xúc với cả ba vòng tròn, bạn sẽ cần vẽ chúng trong không gian mở ở trên cùng và dưới cùng của khu vực bên trong vòng tròn lớn ban đầu của bạn.
Hãy nhớ rằng bán kính của những hình tròn này sẽ bằng 1/3. Đo 1/3 trở lại từ cạnh của hình tròn bên ngoài, sau đó vẽ hình tròn mới của bạn. Nó phải là tiếp tuyến của cả ba vòng tròn xung quanh
Bước 7. Tiếp tục theo cách này để tiếp tục thêm các vòng tròn
Bởi vì chúng là Fractal, Vòng đệm Apollonian phức tạp vô cùng. Điều này có nghĩa là bạn có thể thêm các vòng kết nối nhỏ hơn và nhỏ hơn vào nội dung trái tim của bạn. Bạn chỉ bị giới hạn ở độ chính xác của các công cụ của bạn (hoặc, nếu bạn đang sử dụng máy tính, thì khả năng "phóng to" của chương trình vẽ của bạn). Mỗi vòng tròn, bất kể nhỏ như thế nào, phải là tiếp tuyến của ba đường tròn khác. Để vẽ từng vòng tròn tiếp theo trong Vòng đệm của bạn, hãy cắm các đường cong của ba vòng tròn mà nó sẽ tiếp tuyến với Định lý Descartes. Sau đó, sử dụng câu trả lời của bạn (sẽ là bán kính của hình tròn mới của bạn) để vẽ chính xác hình tròn mới của bạn.
- Lưu ý rằng Vòng đệm mà chúng ta đã chọn để vẽ là đối xứng, vì vậy bán kính của một hình tròn giống với hình tròn tương ứng "đối diện với nó". Tuy nhiên, hãy biết rằng không phải mọi Apollonian Gasket đều đối xứng.
-
Hãy giải quyết một ví dụ khác. Giả sử rằng, sau khi vẽ tập hợp các vòng tròn cuối cùng của chúng tôi, bây giờ chúng tôi muốn vẽ các vòng tròn tiếp xúc với tập hợp thứ ba, tập hợp thứ hai và hình tròn lớn bên ngoài của chúng tôi. Độ cong của các đường tròn này lần lượt là 3, 2 và -1. Hãy cắm những con số này vào Định lý Descartes, đặt a = -1, b = 2 và c = 3:
- d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (sqrt (-1 × 2 + 2 × 3 + 3 × -1))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (sqrt (-2 + 6 + -3))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (sqrt (1))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2
-
d = 2, 6. Chúng ta có hai câu trả lời! Tuy nhiên, vì chúng ta biết rằng đường tròn mới của chúng ta sẽ nhỏ hơn bất kỳ đường tròn nào mà nó tiếp tuyến, chỉ là độ cong của
Bước 6. (và do đó bán kính của 1/6) có ý nghĩa.
- Câu trả lời khác của chúng tôi, 2, thực sự đề cập đến vòng tròn giả định ở phía bên kia của điểm tiếp tuyến của vòng tròn thứ hai và thứ ba của chúng tôi. Vòng kết nối này Là tiếp tuyến với cả hai vòng tròn này và với vòng tròn lớn bên ngoài, nhưng nó sẽ giao với các vòng tròn mà chúng ta đã vẽ, vì vậy chúng ta có thể bỏ qua nó.
Bước 8. Đối với một thử thách, hãy thử tạo Vòng đệm Apollonian không đối xứng bằng cách thay đổi kích thước của vòng tròn thứ hai của bạn
Tất cả các Vòng đệm Apollonian đều bắt đầu giống nhau - với một vòng tròn lớn bên ngoài đóng vai trò là cạnh của Fractal. Tuy nhiên, không có lý do gì mà hình tròn thứ hai của bạn nhất thiết phải có 1/2 bán kính của hình tròn thứ nhất - chúng tôi chỉ chọn làm điều này ở trên vì nó đơn giản và dễ hiểu. Để giải trí, hãy thử bắt đầu một Vòng đệm mới với một vòng tròn thứ hai có kích thước khác - điều này sẽ dẫn đến những con đường khám phá mới thú vị.
